The technique of qualitative solution research in mathematical model of vibrations of semi-infinite elastic bodies is exposed in the article. The equation generalizes the nonlinear wave equation, which is studied in the theory of oscillations. Correctness classes of a generalized solution are obtained.
1. Коломиец В.Г. Случайные колебания упругих нелинейных систем с распределенными
параметрами / В.Г. Коломиец, Л.М. Порхун // Математическая физика. – 1968. – Вып. 5. – С. 103–
108. 2. Митропольский Ю. А. Асимптотические решения уравнений в частных производных /
Ю.А. Митропольский, Б.И. Мосеенков. – Киев: Вища школа, 1976. – 596 с. 3. Сокіл Б.І. Дослідження
нелінійних коливань стрічок конвеєрів / Б.І. Сокіл // Вісник Нац. ун-ту “Львівська політехніка”
“Оптимізація виробничих процесів і технологічний контроль у машинобудуванні та
приладобудуванні”.– 2000.– № 394.– С. 101–104. 4. Santee D. M. Oscillations of a beam on a non-linear
elastic foundation under periodic loads / D. M. Santee, P. B. Goncalves // Shock and Vibrations.– 2006.–
13.– P. 273–284. 5. Metrikine A. V. Steady state response of an infinite string on a non-linear visco-elastic
foundation to moving point loads / A. V. Metrikine // Journ. Sound Vibr.– 2004.– 272.– P. 1033–1046.
6. Metrikine A.V. Stationary waves in a nonlinear elastic system interacting with a moving load /
A.V. Metrikine // Acoustical Physics.– 1994.– 40.– P. 573–576. 7. Salenger G. Discreteness effects in the
forced dynamics of a string on a periodic array of non-linear supports / G. Salenger, A.F. Vakakis // Int.
Journ. Non–Lin. Mech.– 1998.– 33.– P. 659–673. 8. Ghayesh M. H. Parametric vibrations and stability of
an axially accelerating string guided by a non-linear elastic foundation / M. H. Ghayesh // Int. Journ.
Non–Lin.Mech.–2010.– 45.– P. 382–394. 9. Demeio L. Forced nonlinear oscillations of semi-infinite
cables and beams resting on a unilateral elastic substrate / L. Demeio, S. Lenci // Nonlinear Dynamics.–
2007.– 49.– P. 203–215. 10. Demeio L. Second–order solutions for the dynamics of a semi–infinite cable
on a unilateral substrate / L. Demeio, S. Lenci // Journ. Sound Vibr.– 2008.– 315.– P. 414 –432.
11. D’Ancona P. A class of locally solvable semilinear equations of weakly hyperbolic type / P. D’Ancona,
R. Manfrin // Ann. Mat. Pura Appl.– 1995.– 168.– P. 355–372. 12. Agre K. Global solutions to boundary
value problems for a nonlinear wave equation in high space dimensions / K. Agre, M. A. Rammaha // Diff.
And Integr. Equat. − 2001.− 14.− P. 1315−1331. 13. Georgiev V. Existence of a solution of the wave
equation with nonlinear damping and sourse terms / V. Georgiev, G. Todorova // Journ. Diff. Equat.–
1994.– 109.– P. 295–308. 14. Dragieva N. A. A hyperbolic equation with two space variables with strong nonlinearity / N. A. Dragieva // Godishnik Vish. Uchebn. Zaved. Prilozhna Mat.– 1987. – 23, № 4. –
P. 95–106. 15. Carpio A. Existence of global solutions to some nonlinear dissipative wave equations /
A. Carpio // Journ. Math. Pures Appl. (9).– 1994.– 73, № 5.– P. 471–488. 16. Vittilaro E. Global
nonexistence theorems for a class of evolution equation with dissipation / E. Vittilaro // Arch. Ration.
Mech. Anal.– 149.– 1999, № 2.– P. 155–182. 17. Pecher H. Sharp existence results for self–similar
solutions of semilinear wave equations / H. Pecher // Nonlin. Diff. Equat. And Appl.– 7.– 2000.– P. 323–
341. 18. Лавренюк С. П. Метод Гальоркіна для гіперболічних систем першого порядку з двома неза-
лежними змінними / С. П. Лавренюк, М. О. Оліскевич // Укр. мат. журн.– 54.– 2002, № 10. –
С. 1356–1370. 19. Lavrenyuk S. P. Mixed problem for a nonlinear hyperbolic equation in a domain
unbounded with respect to space variables / S. P. Lavrenyuk, P. Ya. Pukach // Ukrainian Math. Journ. –
59, № 11.– 2007.– P. 1708–1718. 20. Пукач П.Я. Змішана задача в необмеженій області для слабко
нелінійного гіперболічного рівняння зі зростаючими коефіцієнтами / Пукач П. Я. // Мат. методи
та фіз.-мех. поля.– 47.– 2004, № 4.– С.149–154. 21. Лионс Ж.–Л. Некоторые методы решения
нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. [пер. с англ. под ред. О.А. Олейник].– Москва: Эдиториал
УРСС, 2002.– 587 с. 22. Гаевский Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные диффе-
ренциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас [пер. с нем. В.Г. Задорожнего и А.И.
Перова под ред. В.И. Соболева].– Москва: Мир, 1978.– 336 с.