Особливості генерування послідовності уточнених поліноміальних матриць Фібоначчі

У роботі проаналізовано особливості формування $n$-ої послідовності уточнених поліноміальних матриць Фібоначчі порядку $m$, елементами яких є поліноми Фібоначчі не вище ступеня $m+n–2$. Запропоновані матриці придатні до обчислення визначників та побудови обернених матриць, що дає змогу використовувати їх у завданнях матричного шифрування блокових даних. Встановлено, що хоча впродовж останнього десятиліття опубліковано чимало досліджень, присвячених різним підходам до побудови поліноміальних матриць Фібоначчі та обґрунтуванню їхньої доцільності для криптографії, на практиці їх застосування залишається обмеженим.
Проведено аналіз послідовностей поліноміальних матриць Фібоначчі порядку від $2$ до $5$, виявлено обмеження традиційного підходу, зокрема малу кількість різних елементів $k=3$, незалежну від порядку матриці, що знижує їхню стійкість до криптоатак. Запропоновано уточнену структуру, у якій кількість різних поліномів залежить від порядку матриці $m$ і становить $k=m+1$.
Розроблено метод генерування послідовностей уточнених поліноміальних матриць Фібоначчі на підставі рекурентного матричного співвідношення: нову матрицю отримують шляхом множення змінної x на елементи поточної матриці з подальшим додаванням результатів до попередньої матриці з групуванням подібних доданків. Наведено приклад побудови восьми уточнених матриць Фібоначчі порядків від $2$ до $4$, що дало змогу дослідити особливості їх структури та методи обчислення визначників і обернених матриць.
Окрім цього, виявлено властивість, яка дає змогу формувати уточнені матриці без використання рекурентного співвідношення – винятково на підставі номерів поліномів Фібоначчі типу $m+n–2–j$, що визначаються положенням елемента в матриці, а саме $\forall j \in[0 \div(m-1)]$. Розроблено програмне забезпечення для генерування таких матриць, обчислення їх визначників і обернених матриць. Продемонстровано приклад використання уточненої поліноміальної матриці Фібоначчі в завданні шифрування блокових даних, що дає змогу наочно зрозуміти як принцип шифрування, так і процес дешифрування.