Степеневе перетворення біному Ньютона формує два рівноправні 3n±1 алгоритми перетворень чисел n які належать N. які мають по одному нескінченному циклу із одиничною нижньою межею осциляцій. Показано, що в реверсному напрямку послідовність Коллатца формується нижніми межами відповідних циклів, а останній елемент прямує до кратного трьом непарного числа. Виявлено, що для ізольованих від основного графу безмежні цикли перетворення із мінімальними амплітудами 5, 7, 17 нижніх межам осциляцій, виконуються додаткові умови.
1. Alfred J. Menezes; Paul C. van Oorschot; Scott A. Vanstone (August 2001). Handbook of Applied Cryptography (вид. Fifth printing). CRC Press. ISBN 0-8493-8523-7.
2. M. Williams. Collatz conjecture: An order machine. Preprints (www.preprints.org) | NOT PEER-REVIEWED | Posted: 31 March 2022, https://doi.org/10.20944/preprints202203.0401.v1
3. L. Green. The Negative Collatz Sequence. v1.25: 14 August 2022. CEng MIEE. https://aplusclick.org/pdf/neg_collatz.pdf
4. M. Gardner. Mathematical games. Scientific American, Vol.223, No.4, pages 120-123, October, 1970. https://www.jstor.org/stable/24927642, Vol. 224, No. 4, pages 112 - 117, February, 1971., https://doi.org/10.1038/scientificamerican1070-120
5. C. Castro Perelman, Carbó-Dorca, R. (2022) The Collatz Conjecture and the Quantum Mechanical Harmonic Oscillator. Journal of Mathematical Chemistry, 60, 145-160. https://doi.org/10.1007/s10910-021-01296-6 [4] Carbó-Dorca, R. (2022) Mersenne Numbers, Recursive G., https://doi.org/10.1007/s10910-021-01296-6
6. B. Bondarenko. Generalized Pascal Triangles and Pyramids. Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, 1993
7. Р. Kosobutskyy. Comment from article «M. Ahmed, Two different scenarios when the Collatz Conjecture fails. General Letters in Mathematics. 2023» https://www.refaad.com/Files/GLM/GLM-12-4-4.pdf; https://www.refaad.com/Journal/Article/1388
8. Р. Kosobutskyy. Svitohliad (2022), №5(97) ,56-61(Ukraine). ISSN 2786-6882 (Online); ISSN 1819-7329.
9. P. Andaloro. The 3x+1 Problem and directed graphs. Fibonac Quarterly. 40(1) (2002): 43-54
10. The Simple Math Problem We Still Can’t Solve. https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-c...
11. N.Sloane.The On-line encyclopedia of integer sequences The OEIS Fundation іs supported by donations from users of the OEIS and by a grant from the Simons Foundation. https://oeisf.org/