1. SISN
  2. Всі випуски
  3. Випуск 17, 2025
  4. Аналіз математичних моделей квантового паралелізму

Аналіз математичних моделей квантового паралелізму

SISN.
2025;
Випуск 17
: cc. 248 - 268
https://doi.org/10.23939/sisn2025.17.248
Автори:
  1. Петро Кравець
1
Національний університет «Львівська політехніка»

У цій статті виконано аналіз математичних моделей квантового паралелізму, основаного на переведенні квантової системи у стан суперпозиції. Обґрунтовано принципи квантового паралелізму та його математичні засади. Для демонстрації квантової переваги проаналізовано математичні моделі фундаментальних квантових алгоритмів Дойча-Йожи та Гровера, які ілюструють ефективність квантових обчислень у порівнянні з класичними методами.
Розглянуто алгоритм Дойча-Йожи, який узагальнює задачу визначення виду бінарної функції, розширюючи її на множину аргументів, записаних у квантовому регістрі. Цей алгоритм дозволяє визначити, чи є функція постійною або збалансованою за один квантовий виклик, тоді як у класичних обчисленнях для цього потрібен експоненційний час. Відзначено, що хоча алгоритм Дойча-Йожи демонструє можливості паралельних квантових обчислень, проте має переважно теоретичне значення.
Алгоритм Гровера реалізує квантові паралельні обчислення для практичної задачі пошуку елемента у невпорядкованій базі даних. Він заснований на ітераційному підсиленні амплітуди стану, що відповідає шуканому елементу, та забезпечує квадратичне прискорення порівняно з класичними алгоритмами. Крім пошуку в базі даних, алгоритм Гровера може бути адаптований для розв’язання інших задач оптимізації.
Роботу розглянутих алгоритмів проілюстровано числовими прикладами, що спрощує розуміння їхніх принципів та сприяє подальшому методологічному розвитку паралельних квантових обчислень.
У статті також окреслено переваги квантового паралелізму над класичними обчисленнями та визначено перспективи застосування паралельних квантових алгоритмів.

квантова система
суперпозиція станів
вимірювання квантових станів
унітарний оператор
алгоритм Дойча-Йожи
алгоритм Гровера
  1. Arute, F., Arya, K., Babbush, R. et al. (2019). Quantum supremacy using a programmable superconducting processor. Nature, 574, 505-510. https://doi.org/10.1038/s41586-019-1666-5.
  2. Beer K. (2022). Quantum neural networks. arXiv: 2205.08154 [quant-ph]. https://doi.org/10.48550/ arXiv.2205.08154.
  3. Biamonte, J., Wittek, P., Pancotti, N. et al. (2017). Quantum machine learning. Nature, 549 (7671), 195-202. https://doi.org/10.1038/nature23474.
  4. Bodnarchuk, O., Zybin, S., & Vasilyuk-Zaytseva, S. (2024). The effectiveness of quantum computers in solving complex problems (in Ukrainian), Information Technology and Society, 4 (15), 6-13. https://doi.org/10. 32689/maup.it.2024.4.1.
  5. Deutsch, D. (1985). Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 400(1818), 97–117. https://doi.org/10.1098/rspa.1985.0070.
  6. Deutsch, D., & Jozsa, R. (1992). Rapid solution of problems by quantum computation. Proceedings of the Royal Society  of  London.  A.  Mathematical  and  Physical  Sciences,  439(1907),  553–558.  https://doi.org/10.1098
  7. /rspa.1992.0167.
  8. Dirac, P. A. M. (1930). The Principles of Quantum Mechanics. Oxford: Clarendon Press.
  9. Easttom, C. (2022). Quantum Computing and Cryptography. In: Modern Cryptography, Applied Mathematics for Encryption and Information Security. Springer, Cham, 397-407. https://doi.org/10.1007/978-3-031-12304-7_19.
  10. Farhi, E., G oldstone, J., & Gutmann, S. (2014). A Quantum Approximate Optimization Algorithm. arXiv: 1411.4028.    https://doi.org/10.48550/arXiv.1411.4028.
  11. Feynman, R. (1982). Simulating physics with computers. International Journal of Theoretical Physics, 21(6–7), 467–488.    https://doi.org/10.1007/BF02650179.
  12. Gaikwad, A., Torres, M.S., Ahmed, S., & Kockum, A.F. (2025). Gradient-descent methods for fast quantum state tomography, 1-20. arXiv: 2503.04526v1 [quant-ph].
  13. Gircha, A.I., Boev, A.S., Avchaciov, K. et al. (2023). Hybrid quantum-classical machine learning for generative chemistry and drug design. Sci Rep, 13, 8250. https://doi.org/10.1038/s41598-023-32703-4.
  14. Google Quantum AI and Collaborators. (2025). Quantum error correction below the surface code threshold. Nature 638, 920–926. https://doi.org/10.1038/s41586-024-08449-y.
  15. Grover, L. K. (1996). A fast quantum mechanical algorithm for database search. Proceedings of the 28th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, 212–219. https://doi.org/10.1145/237814.237866.
  16. Grover, L. K. (1997). Quantum mechanics helps in searching for a needle in a haystack. Physical Review Letters, 79(2), 325–328. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.79.325.
  17. Kadowaki, T., & Nishimori, H. (1998). Quantum annealing in the transverse Ising model. Physical Review E, 58(5), 5355. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.58.5355.
  18. Kalyuzhny, I. G. (2015). Quantum cryptography: principles, problems and prospects (in Ukrainian), Information systems, mechanics and control, 13, 29–37. http://nbuv.gov.ua/UJRN/Ismk_2015_13_5.
  19. Karlash, G. Yu. (2018). Quantum Information Systems. Textbook for the  specialty “Applied Physics and Nanomaterials” (in Ukrainian), Kyiv: Faculty of Radiophysics, Electronics and Computer Systems of Taras Shevchenko National University of Kyiv.
  20. Kosobutsky, P. S. (2022). Physical foundations of quantum informatics: from quantum mechanics, through quantum computing to quantum cryptography (in Ukrainian), Computer systems design: theory and practice, 4 (1), 33-47. DOI: https://doi.org/10.23939/cds2022.01.033.
  21. Krokhmalskyi, T. E. (2018). Introduction to Quantum Computing: Textbook (in Ukrainian), Lviv: Ivan Franko National University of Lviv.
  22. Kozhukhivskyi, A.D., Gaidur, G.I., & Kozhukhivska, O.A. (2022). Quantum search algorithm in unstructured database, Scientific notes of the State University of Information and Telecommunication Technologies (in Ukrainian), 1-2(2), 10-14. DOI: 10.31673/25187678.2022. 021014.
  23. Lloyd, S. (1996). Universal quantum simulators. Science, 273(5278), 1073–1078. 23. https://doi.org/10.1126/science.273.5278.1073.
  24. Matsakos, T. & Nield, S. (2024). Quantum Monte Carlo simulations for financial risk analytics: scenario generation for equity, rate, and credit risk factors. Quantum, 8(1306), 1-35. arXiv: 2303.09682v2. https://doi.org/10.22331/q- 2024-04-04-1306.
  25. Motta, M. (2022). Quantum simulations of molecular systems with intrinsic atomic orbitals. Phys. Rev. A, 106(022404).     https://doi.org/10.1103/PhysRevA.106.022404.
  26. Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.
  27. Ostapov, S. E., & Dobrovolskyi, Y. G. (2021). Quantum Informatics and Quantum Computing (in Ukrainian), Chernivtsi: ChNU.
  28. Pang, X., Li, Y., & Wang, Z. (2025). Quantum neural network quantum state. Proc. SPIE 13545, Third International Conference on Algorithms, Network, and Communication Technology (ICANCT 2024), 1354504 (3 March 2025). https://doi.org/10.1117/12.3059735.
  29. (2014 Peruzzo, A., McClean, J., Shadbolt, P., Yung, M.-H., Zhou, X.-Q., Love, P. J., Aspuru-Guzik, A., & O’Brien,J.  L.).  A  variational  eigenvalue  solver  on  a q uantum  processor.  Nature  Communications,  5,  4213. https://doi.org/10.1038/ncomms5213.
  30. Ramezani, S. B., Sommers, A., Manchukonda, H. K., Rahimi, S., & Amirlatifi, A. (2020). Machine Learning Algorithms in Quantum Computing: A Survey. 2020 International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN), Glasgow, UK, 1-8, https://doi.org/10.1109/IJCNN48605.2020.9207714.
  31. Reichardt, B. W., & Grover, L. K. (2005). Quantum error correction of systematic errors using a quantum search framework. Phys. Rev. A, 72, 042326. arXiv:quant-ph/0506242. https://doi.org/10.48550/arXiv.quant- ph/0506242.
  32. Ricci, S., Dobias, P., Malina, L., Hajny J., & Jedlicka, P. (2024). Hybrid Keys in Practice: Combining Classical, Quantum and Post-Quantum Cryptography. In IEEE Access, 12, 23206-23219. https://doi.org/10.1109/ACCESS. 2024.3364520.
  33. Schrödinger, E. (1926). Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der phyzik, 18, 109-139.
  34. Shor, P. W. (1994). Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring. Proceedings 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, 124–134. https://doi.org/10.1109/SFCS.1994.365700.
  35. Shor, P. W. (1995). Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory. Physical Review A, 52(4), R2493–R2496.     https://doi.org/10.1103/PhysRevA.52.R2493.
  36. Tkachuk, V. M. (2011). Fundamental Problems of Quantum Mechanics (in Ukrainian), Lviv: Ivan Franko National University of Lviv.
  37. Tomamichel, M. (2015). Quantum Information Processing with Finite Resources: Mathematical Foundations, Springer.
  38. Vakarchuk, I. O. (2012). Quantum Mechanics, 4th edition (added) (in Ukrainian), Lviv: Ivan Franko National University of Lviv.
  39. Wang, Z., & Tang, H. (2024). Artificial Intelligence for Quantum Error Correction: A Comprehensive Review. arXiv: 2412.20380, 1-20. https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.20380
  40. Wu, H., Zhang, J., Wang, L. et al. (2025). A survey on qu antum deep learning. J Supercomput, 81(564). https://doi.org/10.1007/s11227-025-07083-3.
  41. Yukhnovsky, I. R. (2002). Fundamentals of Quantum Mechanics. Textbook (second edition with additions) (in Ukrainian), Kyiv: Lybid.
  42. Zurek, W. H. (2003). Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classica. Reviews of Modern Physics, 75(3), 715–775. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.75.715.