На основі методу Шварца розроблено паралельний алгоритм для розбиття двовимірної області дискретизації на перекриваючі піддомени для розв'язання системи диференціальних рівнянь з частинними похідними дробового порядку, що описує процеси тепло- та масопереносу в анізотропних середовищах з фрактальною структурою. За допомогою методу скінченних різниць отримано явні різницеві схеми для рівнянь температури та вологи в піддоменах. Дробові похідні за часом та просторовими координатами апроксимуються за допомогою формул Рімана-Ліувілля та Грюнвальда-Летнікова відповідно. Для паралельної обробки піддоменів організовано формулювання локальних задач, оптимізовано формулювання локальних граничних та початкових умов у межах кожної піддоменної області для забезпечення належної синхронізації паралельного алгоритму, оновлено рішення в кожній піддоменній області та передано інформацію між піддоменними областями для перевірки збіжності методу. Експериментальні результати показують, що запропонований паралельний алгоритм має хорошу масштабованість.
[1] V. Dolean, P. Jolivet, and F. Nataf, An Introduction to Domain Decomposition Methods: Algorithms, Theory and Parallel Implementation. Master, France, 2015, DOI: ffcel-01100932v6.
[2] H. Yang and X.C. Cai, “Two-Level Space-Time Domain Decomposition Methods for Flow Control Problems,” J. Sci. Comput., vol. 70, pp. 717–743, 2017, https://doi.org/s10915-016-0263-0.
[3] F. Magoulès and G. Gbikpi-Benissan, “Asynchronous Parareal Time Discretization For Partial Differential Equations,” SIAM J. Sci. Comput., vol. 40, no. 6, 2018.
[4] J.-L. Lions, Y. Maday, and G. Turinici, “Résolution d’EDP par un schéma en temps ‘pararéel’,” C. R. Math. Acad. Sci. Paris Ser. I, vol. 332, pp. 661–668, 2001.
[5] Y. Sokolovskyy, V. Yarkun, and M. Levkovych, “Parallel Algorithm for Numerical Modeling of Anisotropic Heat and Mass Transfer in Fractal Media,” in 2023 17th Int. Conf. on the Experience of Designing and Application of CAD Systems (CADSM), Jaroslaw, Poland, 2023, pp. 39–43, https://doi.org/10.1109/CADSM58174.2023.10076515.
[6] Y. Sokolovskyy, V. Shymanskyi, M. Levkovych, and V. Yarkun, “Mathematical Modeling of Heat and Moisture Transfer and Rheological Behavior in Materials with Fractal Structure Using the Parallelization of Predictor-Corrector Numerical Method,” in 2016 IEEE First Int. Conf. on Data Stream Mining & Processing (DSMP), Lviv, Ukraine, 2016, pp. 108–111, https://doi.org/10.1109/DSMP.2016.7583518.
[7] Y. Sokolovskyy, A. Nechepurenko, T. Samotii, S. Yatsyshyn, O. Mokrytska, and V. Yarkun, “Software and Algorithmic Support for Finite Element Analysis of Spatial Heat-and-Moisture Transfer in Anisotropic Capillary-Porous Materials,” in IEEE 3rd Int. Conf. on Data Stream Mining and Processing (DSMP 2020), 2020, pp. 316–320, https://doi.org/10.1109/DSMP47368.2020.9204175.
[8] A. Foadaddini, S.A. Zolfaghari, H.M. Darian, and H. Saadatfar, “A New GPU-Based Corrected Explicit-Implicit Domain Decomposition Scheme for Convection-Dominated Diffusion Problems,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 123, pp. 184–203, 2022, https://doi.org/j.camwa.2022.08.015.
[9] A. Foadaddini, S.A. Zolfaghari, H.M. Darian, et al., “An Efficient GPU-Based Fractional-Step Domain Decomposition Scheme for the Reaction–Diffusion Equation,” Comput. Appl. Math., vol. 39, no. 305, 2020, https://doi.org/s40314-020-01357-7.
[10] F. Kong and X.-C. Cai, “A Highly Scalable Multilevel Schwarz Method with Boundary Geometry Preserving Coarse Spaces for 3D Elasticity Problems on Domains with Complex Geometry,” SIAM J. Sci. Comput., vol. 38, no. 2, pp. C73–C95, https://doi.org/15M1010567.
[11] A.O. Lopushansky and H.P. Lopushanska, “Inverse Problem for the Fractional Diffusion Equation in Schwarz-Type Spaces,” J. Math. Sci., vol. 265, pp. 394–407, 2022, https://doi.org/s10958-022-06060-y.
[12] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, vol. 198 of Mathematics in Science and Engineering. Academic Press, San Diego, CA, USA, 1999, 340 pp.
[13] M. Gander and H. Zhang, “Schwarz Methods by Domain Truncation,” Acta Numerica, vol. 31, pp. 1–134, 2022, https://doi.org/10.1017/S0962492922000034.
[14] N. Ghosh, A. Reusken, and B. Stamm, “Schwarz Domain Decomposition Method Applied to the Conductor-Like Screening Model,” 2024.
[15] G. Sanjuan, T. Margalef, and A. Cortés, “Wind Field Parallelization Based on Schwarz Alternating Domain Decomposition Method,” Future Generation Computer Systems, vol. 82, 2017, https://doi.org/10.1016/j.future.2016.12.041.
[16] Y. Sokolovskyy, V. Yarkun, M. Levkovych, O. Storozhuk, and I. Kapran, “Software and Algorithmic Aspects of Parallel Calculation of Non-Isothermal Moisture Transfer in Fractal-Structure Materials,” in 2021 IEEE XVIIth Int. Conf. on the Perspective Technologies and Methods in MEMS Design (MEMSTECH), Polyana, Ukraine, 2021, pp. 171–175, https://doi.org/10.1109/MEMSTECH53091.2021.9467939.
[17] B. Shao, H. Yang, and H.-J. Zhao, “Scalable Fully Implicit Methods for Subsurface Flows in Porous Media with Fractional Derivative,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 134, pp. 55–65, 2023, https://doi.org/10.1016/j.camwa.2023.01.003.
[18] X. Li, X. Jiang, F. Zeng, Z. Lin, S. Qin, and R. Chen, “Enhanced Parallel Computation for Time-Fractional Fluid Dynamics: A Fast Time-Stepping Method with Newton-Krylov-Schwarz Solver,” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 133, 2024, https://doi.org/j.cnsns.2024.107952.
[19] L. Mochurad, “Implementation and Analysis of a Parallel Kalman Filter Algorithm for LiDAR Localization Based on CUDA Technology,” Frontiers in Robotics and AI, vol. 11, 2024, https://doi.org/10.3389/frobt.2024.1341689.
[20] M. Gander, “Schwarz methods over the course of time,” ETNA. Electronic Transactions on Numerical Analysis, vol. 31, 2008, pp. 228–255.
[21] W. Zhang, W. Wei, X. Cai, “Performance modeling of serial and parallel implementations of the fractional Adams-Bashforth-Moulton method,” Fract. Calc. Appl. Anal., vol. 17, pp. 617–637, 2014, https://doi.org/10.2478/s13540-014-0189-x