Підхід Гао побудови елементів великого порядку в довільних скінченних полях полягає у виборі зручного полінома, який задає розширення початкового простого поля. Цей вибір залежить від одного полінома-параметра. Тому вказаний підхід можна розглядати як використання опису скінченного поля з одним ступенем свободи. У цій роботі досліджено можливість поліпшення нижніх меж для порядків елементів у скінченних полях загального вигляду з використанням двох ступенів свободи. Виконано комп'ютерні обчислення в середовищі Maple, які б показали можливі виграші у цьому разі, та наведено відповідні результати. Елементи великого мультиплікативного порядку використовують у низці криптографічних примітивів (протокол Діффі-Хелмана, криптосистема Ель-Гамаля з відкритим ключем, цифровий підпис Ель-Гамаля).
[1] Agrawal M., Kayal N., Saxena N. PRIMES is in P // Annals of Mathematics, vol. 160, no. 2, 2004, p. 781-793. https://doi.org/10.4007/annals.2004.160.781
[2] Ahmadi O., Shparlinski I. E., Voloch J. F. Multiplicative order of Gauss periods // International Journal of Number Theory, vol. 6, no. 4, 2010, p. 877-882. https://doi.org/10.1142/S1793042110003290
[3] Conflitti A. On elements of high order in finite fields // in Cryptography and Computational Number Theory, vol. 20 of Progr. Comput. Sci. Appl. Logic, Birkhauser, Basel, 2001, p. 11-14. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8295-8_2
[4] Gao S. Elements of provable high orders in finite fields // Proceeding of American Math. Soc., vol. 127, no. 6, 1999, p. 1615-1623. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-99-04795-4
[5] Lidl R., Niederreiter H. Finite Fields. - Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 755 P. https://doi.org/10.1017/CBO9780511525926
[6] Mullen G. L., Panario D. Handbook of finite fields. Boca Raton: CRC Press, 2013. 1068 P. https://doi.org/10.1201/b15006
[7] Lambe T. A. Bounds on the Number of Feasible Solutions to a Knapsack Problem // SIAM Journal of Applied Mathematics, vol. 26, no. 2, 1974, p. 302-305. https://doi.org/10.1137/0126027
[8] Popovych R. Elements of high order in finite fields of the form Fq[x]/Φr(x) // Finite Fields and Their Applications, vol. 18, no. 4, 2012, p. 700-710.
[9] Popovych R. Elements of high order in finite fields of the form Fq[x]/(xm-a) // Finite Fields and Their Applications, vol. 19, no. 1, 2013, p. 86-92.
[10] Popovych R. On elements of high order in general finite fields // Algebra and Discrete Mathematics, vol. 18, no. 2, 2014, p. 295-300.
[11] Popovych B. Kompyuterna perevirka prypushchennya Gao, povyazanogo z otrymannyam elementiv velykogo poryadku v skinchennuch polyakh // Lvivska politechnika, Kompyuterni systemy ta merezhi, No. 905, 2018, s. 108-110.
[12] Young M. On the multiplicative independence of rational iterates, Preprint, 2018, available at https://arxiv.org/abs/1708.00944.