Мета. Існує багато методів моделювання регіонального гравітаційного поля, в яких використовують сферичні функції Лежандра цілого ступеня, проте дійсного порядку. Проте вони стосуються переважно регіону, який за формою становить сегмент сфери. Крім того, для їх використання потрібно вхідні дані трансформувати на сегмент сфери з центром на північному полюсі. Метою цієї роботи є знаходження системи функцій, яка б мала ортогональні властивості на довільній сферичній трапеції, а також дослідження властивостей такої системи. Методика. Взявши за основу сферичні функції Лежандра на сферичному сегменті, розроблено систему функцій, ортогональну на довільній сферичній трапеції. Такі функції не можна задати в явному вигляді, а також вони не мають рекурентних співвідношень. Результати. Розглянуто приєднані сферичні функції Лежандра на сферичній трапеції, які мають властивістю ортогональності на цьому регіоні. Наведено формули для знаходження норми таких функцій. Отримані функції можна використовувати для побудови регіональних моделей гравітаційних полів на довільній сферичній трапеції. Ортогональна властивість досліджуваних функцій забезпечує стійкий розв’язок під час знаходження невідомих коефіцієнтів моделі. Для високоточного моделювання регіонального гравітаційного поля необхідно перегрідувати вхідні дані (виміряні трансформанти геопотенціалу) на певний грід, і після цього можна використати часткову дискретну ортогональність даних функцій по довготі або повну дискретну ортогональність подібно до другого методу Неймана. Це дає змогу суттєво скоротити час обчислень без втрати точності, адже досліджувані функції не мають рекурсивних співвідношень і для їх знаходження необхідно використовувати розклад в гіпергеометричний ряд. Наукова новизна і практична значущість. У цій роботі вперше отримано систему функцій, ортогональну на довільній сферичній трапеції. Її можна використовувати для побудови регіонального гравітаційного поля, регіонального магнітного поля, а також для задач високоточної інтерполяції або апроксимації, наприклад побудови регіональної моделі іоносфери.
1. De Santis, A. Translated origin spherical cap harmonic analysis, Geophys. J. Int., 1991, 106, 253–263.
https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1991.tb04615.x
2. De Santis, A. Conventional spherical harmonic analysis for regional modeling of the geomagnetic feld, Geophys. Res. Lett., 1992, 19, 1065–1067.
https://doi.org/10.1029/92GL01068
3. De Santis, A. & Torta, J. Spherical cap harmonic analysis: a comment on its proper use for local gravity field representation, J. of Geodesy, 1997, 71, 526-532.
https://doi.org/10.1007/s001900050120
4. Haines, G. Spherical cap harmonic analysis, J. Geophys. Res., 1985, 90, 2583–2591.
https://doi.org/10.1029/JB090iB03p02583
5. Haines, G. Computer programs for spherical cap harmonic analysis of potential and general felds, Comput. Geosci., 1988, 14, 413–447.
https://doi.org/10.1016/0098-3004(88)90027-1
6. Hobson, E. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics, New York : Cambridge Univ. Press, 1931, 476 p.
7. Hwang, C. Spectral analysis using orthonormal functions with a case study on the sea surface topography, Geophys. J. Int., 1993, 115, 148–1160.
https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1993.tb01517.x
8. Hwang, C. & Chen, S. Fully normalized spherical cap harmonics: application to the analysis of sea-level data from TOPEX/POSEIDON and ERS-1, Geophys. J. Int., 1997, 129, 450–460.
https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1997.tb01595.x
9. Macdonald, H. Zeroes of the spherical harmonic considered as a function of n, Proc. London Math. Soc., 1900, 31, 264–278.
10. Marchenko, A. & Dzhuman, B. Regional quasigeoid determination: an application to arctic gravity project, Geodynamics, 2015, 18, 7–17.
11. Pavlis, N. K., Holmes, S. A., Kenyon, S. C. & Factor, J. K. The development and evaluation of the Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008), J. geophys. Res., 2012, 117, B04406. doi:10.1029/2011JB008916.
https://doi.org/10.1029/2011JB008916
12. Smythe, W. Static and dynamic electricity, New York : McGraw-Hill, 1950, 635 p.
13. Sneeuw, N. Global spherical harmonic analysis by least-squares and numerical quadrature methods in historical perspective, Geophys. J. Int., 1994, 118, 707–716.
https://doi.org/10.1111/j.1365-246X.1994.tb03995.x
14. Thebault, E., Mandea, M. & Schott, J. Modeling the lithospheric magnetic field over France by means of revised spherical cap harmonic analysis (R-SCHA), J. geophys. Res., 2006, 111, 111–113.
https://doi.org/10.1029/2005JB004110