Періодичні функції зі змінним періодом та їх наближеннями рядами Фур’є

У статті звернуто увагу, що крім періодичних емпіричних сигналів, моделлю яких є періодичні функції, зустрічаються сигнали, які ведуть себе подібно періодичним, але при цьому період повторюваності їх значень вже не є постійним, а певним чином змінюється. Наглядним прикладом є електрокардіограми (ЕКГ), отримані під час чи після дії на організм пацієнта певного збудника спокою, наприклад, фізичного навантаження. Яким же чином досліджувати періодичні сигнали із змінним періодом (ПСЗП)? Огляд літературних джерел показує, що до недавнього часу на це питання будь-якої науково обґрунтованої відповіді не було. Тому задача розробки інформаційних технологій (ІТ) дослідження ПСЗП є актуальною як з теоретичної так і прикладної точок зору. Для її вирішення пропонується використовувати підхід, суть якого вкладається в тріаду «модель-алгоритм-програма». Певні результати на цьому шляху вже отримані в попередніх роботах авторів цієї статті, зокрема наведено означення періодичної функції із змінним періодом (ПФЗП), розглянуто приклади тригонометричних ФЗП (ТФЗП) та записані їх змінні періоди, розроблено метод утворення системи ортогональних ТФЗП і визначено скалярний добуток для функцій системи. В даній роботі записано ряд Фур’є для ПФЗП та отримано формули для знаходження його коефіцієнтів. Як приклад побудовано скінчений ряд Фур’є для аналітично заданої ПФЗП та показано, що із збільшенням числа коефіцієнтів ряд наближається до самої функції, що підтверджує правильність отриманих теоретичних результатів.

Враховуючи, що для переважної більшості емпіричних ПФЗП їх змінний період є невідомим, порушено питання його оцінки. Для випадку ЕКГ, отриманої після фізичного навантаження, побудовані оцінки її змінної частоти (ЗЧ) та ЗП. Виявилося, що оцінка ЗЧ має вигляд експоненційної функції, що визначається трьома параметрами. Розроблені ІТ для вивчення ПФЗП дають можливості досліджувати реальні ПСЗП, зокрема ЕКГ зі ЗП, а отримані при цьому числові значення параметрів використовувати в задачах діагностики, підтримки прийняття рішень.