Побудова матриці нормальних рівнянь для моделювання локального гравітаційного поля

2014;
: стоp. 29 - 34
Надіслано: Грудень 15, 2013
Переглянуто: Березень 24, 2014
1
Національний університет “Львівська політехніка”, м. Львів
2
Національний університет “Львівська політехніка”

Розглянуто методику побудови локального гравітаційного поля за допомогою неортогональних базових функцій, які є розв’язком рівняння Лапласа на ,,шапці˝ або сегменті сфери. Цей підхід передбачає використання приєднаних функцій Лежандра цілого степеня і дійсного порядку. Ці функції формують дві системи функцій.
У кожній із цих систем вони є ортогональними між собою на ,,шапці˝ сфери. Тому для використання обох систем функцій традиційно використовують спосіб найменших квадратів. Проте для високих порядків досить складно знаходити власні числа цих функцій. У таких випадках можна спроектувати вихідні дані на півсферу і використати приєднані функції Лежандра цілого степеня і порядку. Властивості таких функцій аналогічні до властивостей функцій на ,,шапці˝ сфери. Традиційно вихідні дані для побудови гравітаційного поля розмі­щаються на рівномірній сітці. Існує багато видів рівномірних сіток, які дають змогу пришвидшити процес знаходження невідомих гармонічних коефіцієнтів. З-поміж цих рівномірних сіток можна виділити географічну рівномірну сітку, рівномірну сітку Гаусса тощо. Отже, введено рівномірну сітку для розміщення вихідних даних і визначено її основні властивості на сегменті сфери та півсфері. З використанням відповідних властивостей рівномірної сітки отримано методику обчислення матриці нормальних рівнянь, яка дає можливість значно скоротити час обчислень.  Також отримано формули для знаходження невідомих коефіцієнтів, які дають змогу перейти від обертання матриць порядку α² до порядку α. Отже, запропонований алгоритм для побудови матриці нормальних рівнянь і визначення гармонічних коефіцієнтів локального гравітаційного поля приводить до значного зменшення часу обчислень без втрати точності.

  1. Джуман Б.Б. Про побудову моделі локального гравітаційного поля // Геодинаміка. – 2013. – №1(14). – С.29–33.
  2. Лук’янченко Ю.О. Побудова нормальних рівнянь для опрацювання даних місії GOCE // Геоди­наміка. – 2013. – №1(14). – С.34–37.
  3. De Santis A. Conventional spherical harmonic analysis for regional modeling of the geomagnetic feld. Geophys. Res. Lett., 1992, issue 19, pp.1065–1067.
  4. De Santis A., Torta J. Spherical cap harmonic analysis : a comment on its proper use for local gravity field representation // J. of Geod., 1997, 71, p. 526–532.
  5. Eicker A. Gravity field refinement by radial basis functions from In-situ satellite data, 2008, p.137.
  6. Haines G.V. Computer programs for spherical cap harmonic analysis of potential and general felds // Comput. Geosci., 1988, 14, p.413–447.
  7. Haines G.V. Spherical cap harmonic analysis. J. Geophys. Res., 1985, issue 90, pp.2583–2591.
  8. Hofmann-Wellenhof B., Moritz H. Physical Geodesy, Wien New York: Springer Science + Busines Media, 2005, p.403.
  9. Hwang C., Chen S. Fully normalized spherical cap harmonics: application to the analysis of sea-level data from TOPEX/POSEIDON and ERS-1 // Geophys. J. Int., 1997, 129, p. 450–460.
  10. Hwang J., Gravity and geoid model in South Korea and its vicinity by spherical cap harmonic analysis / Hwang J., Han H., Han S., Kim K., Kim J., Kang M., Kim C. // J. of Geodynamics, 2012, 53, p. 27–33.
  11. Jiancheng L., Spherical cap harmonic expansion for local gravity field representation / Jiancheng L., Dingbo C., Jiancheng N. // Manuscr. Geod., 1995. – 20, – p. 265–277.
  12. NGA, Arctic Gravity Project, The National Imagery and Mapping Agency, 2008. Available at: http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/agp/
  13. Thebault E., Modeling the lithospheric magnetic field over France by means of revised spherical cap harmonic analysis (R-SCHA) / Thebault E., Mandea M., Schott J. // J. Of Geophys. Research, 2006. – 111. – 13 p.