Нові закономірності поділу сегментів за золотим перерізом

У роботі досліджено чотири задачі про поділ одиничного відрізка за «золотою» пропорції, а саме загальна модель «золотого» поділу одиничного відрізка, декомпозиція квадратного тричлена, «золотий» поділ одиничного відрізка точкою з координатою $ x<\frac{1}{2} $ , «золоте» січення одиничного відрізка із втратою «пам'яті». У даній статті поняття декомпозиції використано як піднесення до ступеня квадратного тричлена. Бінарний поділ одиничного відрізка на дві нерівні частини із властивостями «золотої» пропорції реалізується у довільній точці фазової площини $0 p q$ , а декомпозиція квадратного тричлена призводить до формування рекурентних послідовностей зі властивостями Фібоначчі. Можна зауважити, що відома «золота» пропорція між частинами бінарного поділу, представляє швидше за все часткове наслідування теорем Вієта та Пуанкаре.

Закономірності «золотого» поділу для випадку $x>\frac{1}{2}$ добре вивчені. Тому досліджено закономірності для випадку $ x<\frac{1}{2} $. Незважаючи на те, що числа $\psi, \varphi$ виражаються одне через інше, з точки зору «золотого» поділу обидві реалізації з кількісними характеристиками $\left.Y_{\varphi}\right|_{L=1}=\varphi$ та $\left.X_\psi\right|_{L=1}=\psi$ незалежні та рівноправні, хоча їх кількісні характеристики можна пов'язати між собою за допомогою відповідних формул. Побудовано геометричні прогресії для чисел $\varphi$та $\psi$ для цілих позитивних значень показника ступеня $n \geq 0$ для підтвердження незалежності та рівноправності обох моделей. Кількісні характеристики «золотого» поділу одиничного відрізка двома точками з координатами в інтервалах $x>\frac{1}{2}$ та $ x<\frac{1}{2} $ пов'язані між собою нелінійним співвідношенням параболічного типу $\psi=\varphi^2$. У класичному «золотому» січенні передбачається, що після розподілу частини відрізка не змінюють своїх просторових напрямів, і вони збігаються з напрямком вихідного відрізка, тобто $\alpha=0$. У цій роботі розглянуто випадок $\alpha \neq0$ , коли після розподілу, просторова орієнтація елементів розподілу змінюється. Кутова залежність «золотого» поділу одиничного відрізка із втратою «пам'яті» його частин про просторову орієнтацію після поділу, виявляє відомий кут $\left.\alpha\right|_{p\to1}\to\frac{\pi}{3}$ нахилу бічної поверхні Хіопса.