Оцінка потенціальної гравітаційної енергії землі на основі референцних моделей розподілів густини

Олександр Марченко; Олександр Заяць

У статті розглядаються питання, присвячені оцінці гравітаційної потенціальної енергії E Землі на основі заданих глобальних розподілів густини. Глобальна модель густини обчислювалась як комбінація тривимірного неперервного розподілу та референцного радіального розподілу з основними стрибками густини, як і у моделі PREM. Даний глобальний розподіл однозначно відтворює зовнішнє гравітаційне поле Землі до другого порядку і степеня включно, є узгодженим зі значеннями геометричного та динамічного стиску планети, а також з основними радіальними стрибками густини. Чисельні дослідження показали, що значення латеральних аномалій густини та їх точність є величинами одного і того ж порядку, внаслідок чого для оцінки гравітаційної потенціальної енергії E використовувались лише радіальні моделі розподілу густини. Всі оцінки енергії виконувались з використанням формули E = -(Wmin +ΔW) , отриманої з загальноприйнятого співвідношення для E через тотожність Гріна. Перший доданок цієї формули Wmin виражає мінімальну роботу W, а другий ΔW – відхилення від Wmin, яке трактується через інтеграл Діріхле для внутрішнього потенціалу. В роботі запропоновано співвідношення для обчислення внутрішнього потенціалу та E, а також вирази для оцінки точності неперервних та радіально-кускових розподілів густини. Обчислено границі, в межах яких може приймати значення E. Верхня межа EH відповідає однорідній Землі. Нижня межа EGauss відповідає радіальному розподілу густини за законом Гаусса. Всі оцінювальні значення гравітаційної потенціальної енергії були отримані для сферичної Землі, оскільки еліпсоїдальна поправка дає значення на два порядки менше, ніж точність визначення самої енергії σE = ±0,0025×1039 ergs. Таким чином було отримано добре узгодження між трьома оцінювальними значеннями енергії EGauss = −2,5073×1039 ergs (енергія моделі Гаусса), E = −2,4910×1039 ergs (енергія кусково-неперервної моделі Роша) та EPREM = −2,4884×1039 ergs (енергія моделі PREM). Подібна узгодженість спостерігалась і для оцінювальних значень енергії найпростіших моделей густини, які складались з двох шарів – кора і мантія. В статті наведено розподіли внутрішнього потенціалу та його першої та другої похідних для неперервних та кусково-неперевних моделей густини. З використанням тривимірних моделей густини аналізується вплив вікової варіації зонального коефіцієнта C20 на глобальні зміни густини.

гравітаційна потенціальна енергія

внутрішній потенціал

розподіл густини

оцінка точності

1. Idelson NI (1932). Theory of Potential with Applications to the Geophysics Problems. GTTI, Leningrag - Moscow. (in Russian).

2. Kurant R, Gilbert D (1951) Methods of the mathematical physics, 2nd edition GITTL, Moscow − Leningrad, (in Russian).

3. Marchenko O.N., Yarema N.P. (2003) Estimation of influence of uncertainties of principle fundamental constant on the accuracy of the density distribution, Proceedings of the international symposium “Modern Achievements of Geodetic Science and Industry”, Lviv, April, 2003, pp.77–84 (in Ukrainian).

4. Mescheryakov GA. (1973) On estimation of some values characterizing the internal gravity field of the Earth. Geodesy, cartography and aerophotosurveying, Lvov, No. 17, pp. 34–40.
(in Russian).

5. Mescheryakov GO. (1977) On the unique solution of the inverse problem of the potential theory. Reports of the Ukrainian Academy of Sciences. Kiev, Series A, No. 6, pp. 492–495
(in Ukrainian).

6. Mescheryakov GA. (1991) Problems of the potential theory and generalized Earth. Nauka, Moscow, 1991. 203 p. (in Russian).

7. Mescheryakov GA, Shopyak IN, Deyneka YuP. (1977) On the representation of a function inside the Earth’s ellipsoid by means of the partial sum of a generalized Fourier series. Geodesy, cartography and aerophotosurveying, No 21, pp. 55–62, Lvov. (in Russian).

8. Mihlin SG (1968) Course of the mathematical physics, Nauka, Moscow, (in Russian).

9. Tichonov AN, Arsenin VY (1974) Methods of solution of ill-posed problem, Nauka, Moscow, (in Russian).

10. Bullen KE (1975) The Earth’s Density. Chapman and Hall, London. 22. Marchenko AN (2009a) Current estimation of the Earth’s mechanical and geometrical parameters. In M.G.Sideris (ed.), Observing our Changing Earth, Int. Assoc. of Geodesy Symp. 132. pp. 473–481, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg 2009.

11. Bursa M (1993) Distribution of gravitational potential energy within the Solar system, Earth, Moon and Planets, Vol. 62, pp. 149–159.

12. Bursa M, Krivsky L, Hovorkova O (1996) Gravitational potential energy of the Sun, Studia geoph, et geod. 40 (1996), pp. 1–8. 23. Marchenko AN (2009b) The Earth’s global density distribution and gravitational potential energy. In M.G.Sideris (ed.), Observing our Changing Earth, Int. Assoc. of Geodesy Symp. 132. pp. 483–491, Springer Verlag, BerlinHeidelberg 2009.

13. Dziewonski AM, Anderson DL (1981) Preliminary reference Earth model. Physics of the Earth and Planetary Interiors, Vol. 25, pp. 297–356.

14. Gauss KF (1877). Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs und Abstossungskrafte. Resultate
1840. "Werke", Bd. V, pp. 195–242., Ostwald Klassiker, No 2, Leipzig, 1889.

15. Grafarend E, Engels J, Varga P (2000) The temporal variation of the spherical and Cartesian multipoles of the gravity field: the generalization MacCullagh representation.
Journal of Geodesy, Vol. 74, pp. 519–530.

16. Groten E (2004) Fundamental parameters and current (2004) best estimates of the parameters of common relevance to astronomy, geodesy and geodynamics, Journal of Geodesy, Vol. 77, pp. 724–731.

17. Heiskanen WA, Moritz H (1967) Physical Geodesy, W.H. Freeman, San Francisco.

18. Holota P (1995) Two branches of the Newton potential and geoid, Proceed. of the International Symposium No 113 “Gravity and Geoid”, Graz, Austria, 1994, pp. 205–214, Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

19. Kellogg OD (1929) Foundations of potential theory, Springer, Berlin, 1929.

20. Marchenko AN (1999) Earth’s radial profiles based on Legendre-Laplace law. Geodynamics, 1(2) 1999, pp. 1–6.

21. Marchenko AN (2000) Earth’s radial density profiles based on Gauss’ and Roche’s distributions. Bolletino di Geodesia e Scienze Affini, Anno LIX, No.3, pp. 201–220.

22. Marchenko AN (2009a) Current estimation of the Earth’s mechanical and geometrical parameters. In M.G.Sideris (ed.), Observing our Changing Earth, Int. Assoc. of Geodesy Symp. 132. pp. 473–481, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg 2009.

23. Marchenko AN (2009b) The Earth’s global density distribution and gravitational potential energy. In M.G.Sideris (ed.), Observing our Changing Earth, Int. Assoc. of Geodesy Symp. 132. pp. 483–491, Springer Verlag, BerlinHeidelberg 2009.

24. Marchenko AN, Schwintzer P (2003) Estimation of the Earth's tensor of inertia from recent global gravity field solutions, Journal of Geodesy, Vol. 76, pp. 495–509.

25. McCarthy D, Petit G (2004) IERS Conventions (2003), IERS Technical Note, No.32, Verlag des Bundesamts fur Kartographie und Geodasie, Frankfurt am Main, 2004.

26. Maxwell JK (1881) A Treatise on Electricity and Magnetism. 2nd Edition, Oxford, Vol.1.

27. Moritz H (1990) The Figure of the Earth. Theoretical Geodesy and Earth’s Interior, Wichmann, Karlsruhe.

28. Rubincam DP (1979) Gravitational potential energy of the Earth: A spherical harmonic approach, Journal of Geoph. Res. Vol. 84, No. B11, 6219–6225.

29. Thomson W, Tait PG (1879) Treatise on Natural Philosophy, Vol.2, Cambridge University Press.

30. Wermer J (1981) Potential theory, Springer, Berlin Heidelberg New York.

31. Yoder, CF, Williams JG, Dickey JO, Schutz BE, Eanes R.J, Tapley BD (1983) Secular variation of Earth's gravitational harmonic J2 coefficient from Lageos and nontidal acceleration of Earth rotation. Nature, 303, pp. 757–762.