Досліджено процеси деформування у середовищах з фрактальною структурою. На сьогодні дослідження, які присвячені питанням побудови математичних методів та моделей взаємозв’язаних деформаційно-релаксаційних та тепломасообмінних процесів у середовищах з фрактальною структурою знаходяться на початковому етапі. Існує ряд невирішених задач, зокрема до кінця нерозв’язаною залишається задача коректної та фізично-осмисленої постановки початкових і граничних умов для нелокальних математичних моделей нерівноважних процесів у середовищах з фрактальною структурою.
Для розроблення адекватних математичних моделей процесів тепломасоперенесення та в’язкопружного деформування у середовищах з фрактальною структурою, для яких характерні ефекти пам’яті, самоорганізації та просторової нелокальності, детермінованого хаосу та мінливості реологічних властивостей матеріалу, необхідно застосовувати нетрадиційні підходи, зокрема використовувати математичний апарат дробових інтегро-диференціальних операторів. Наявність у диференціальних рівняннях дробової похідної за часом характеризує ефекти пам’яті (еридитарності) або немарковість процесів моделювання. Реалізація математичних моделей може проводитися як аналітичними так і чисельними методами. Зокрема, у цій роботі отримано інтегральний вигляд дробово-диференціальних реологічних моделей на підставі використання властивостей нецілочисельного оператора інтегро-диференціювання та методу перетворення Лапласа.
Отримані аналітичні розв’язки математичних моделей деформування у в’язкопружних фрактальних середовищах дали можливість отримати термодинамічні функції, ядра повзучості та релаксації фрактального типу. Розроблене програмне забезпечення для дослідження впливу параметрів дробового диференціювання на реологічні властивості в’язкопружних середовищ.
Проведені дослідження дають можливість підвищити ефективність математичного моделювання процесів в’язко-пружного деформування матеріалу з урахуванням ефекту «пам’яті» та самоорганізації шляхом зменшення залишкових напружень у матеріалі та визначення адекватного напружено-деформаційного стану. Окрім цього наведені результати можуть бути використані у задачах параметричної ідентифікації математичних моделей в’язкопружних середовищах з фрактальною структурою.
- Самко, С. Г., Килбас, А.А., Маричев, О.И. (1987). Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 688.
- Cottrill-Shepherd, K., Naber, M. (2001). Fractional differential forms. Journal of Mathematical Physics. Vol.42. No.5. 2203-2212.
- Бутковский, А. Г., Постнов, С. С., Постнова, Е. А. (2013). Дробное интегро- дифференциальное исчисление и его приложения в теории управления. Автоматика и телемеханика. N 4., 3-29.
- Post, E. U. Generalized Differentiation (1930). Trans. of Amer. Math Soc. V. 32. № 4., 723-781.
- Zavada, P. (1998). Operator of fractional derivative in the complex plane. Communications in Mathematical Physics.V.192, 261-285.
- Chen, Y., Yan Zhang (2003). Applications of Fractional Exterior Differential in The Dimension space. Appl. Math. Mech. 2003. V. 24. N 3, 216-260.
- West, B.J., Bologna, M., Grigolini, P. (2003). The Physics of Fractal Operators, Springer- Verlag,.New York, 354.
- Machado, J. Tenreiro, Kiryakova, V., Mainardi, F. (2011).Recent history of fractional calculus. Commun Nonlinear Science and Numer Simulat, V. 16, 1140-1153.
- Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations. vol. 198 of Mathematics in Science and Engineering, Academic Press, San Diego, Calif, USA, 340.
- Lorenzo, C. F., Hartley, T. T. (2002). Variable Order Distributed Order fractional Operators. Nonlin. Dyn. V.29, 57-98. Valerio, D., da Costa, J. S. (2011). Variable-Order Fractional Derivatives and their Numerica Aproximations. Signal Proc. V.91, 470-483.
- Sun, H., Chen, Y., Chen, W., (2009) Time Fractional Differential Equation Model with Randow Derivative Order. Proc. ASME int. Design Engin. Technical Conf. Computers and Inform. in. Engin. Conf. DETC/CIE, Paper If DETC 2009-87483 (6 pages).
- Учайкин, В. В. (2008). Метод дробных производных. Ульяновск: Издательство Артишок», 512.
- Datsko, B.Y., Gafiychuk, V.V. (2012) Different types of instabilities and complex dynamics in reaction-diffusion systems with fractional derivatives. Computational and Nonlinear Dynamics. DOI No: CND-09-1119.
- Gafiychuk, V., Datsko, B. (2010). Mathematical modeling of different types of instabilities in time fractional reaction-diffusion systems. Computers and Mathematics with Applications, 59, 1101-1107.
- Povstenko, Y. (2013). Fundamental solutions to time-fractional heat conduction equations in two joint half-lines. Cent. Eur. J. Fhys. 11(10), 1284-1294.
- Povstenko, Y., (2012). Neumanuboundary-value problems for a time-fractional diffusion - walue equation in half-plane. Computers Mathematics with Applications, Vol.64, 11, 3183-3192.
- Povstenko, Y. (2013). Fractional Heat Conduction in an Infinite Medium with a Spherical Inclusion. Entropy. Vol.15, 4122 – 4133.
- Sokolovskyy, Ya., Shymanskyi, V., Levkovych, M. (2016). Mathematical modeling of non- isotermal moisture transfer and visco-elastic deformation in the materials with fractal structure. Computer Science and Information Technologies ‘CSIT 2016’ : proc. of the 11th Intern. Sci. and Techn. Conf., 6-10 Sept. 2016. Lviv, 91-95.
- Sokolovskyy, I., Levkovych, M., Mokrytska, O. (2018). Numerical modeling and analysis of physical properties in biomaterials with fractal structure. Informatics & Data-Driven Medicine. Vol. 2255., 180-192.
- Oldham, K.B., Spanier, J. (1974). The Fractional Calculus. New York-London: Academic Press.
- Победря, Б. Е. (2000). Модели механики сплошной среды. Изв. РАН МТТ. № 3, 47-59.