РЕКУРЕНТНІ ЧИСЛА ЯКОБСТАЛЯ ЯК ПЛАТФОРМА ПЕРЕТВОРЕНЬ K·Q±1

Петро Кособуцький; Оксана Оборська; Богдан Василишин

У статті досліджується роль рекурентних чисел Якобсталя у формуванні статистичних закономірностей моделі гіпотези натуральних чисел q ∈ N у загальній задачі κ⋅q±1, де κ=1,3,5,…. Вперше запропоновано модель структурування множини натуральних чисел у вигляді множини послідовностей виду θ⋅2ⁿ, де θ приймає непарні значення 1,3,5,…, а n – натуральні числа, починаючи з нуля. Розроблено діаграму розгалуження та злиття таких послідовностей у напрямку загального часу зупинки tst, де tst→∞. На основі цієї моделі вперше встановлено закономірності формування послідовностей чисел, що мають однакову довжину у послідовності Коллатца CSq. Отримані результати можуть бути використані для подальшого аналізу арифметичних перетворень та властивостей натуральних чисел у контексті теорії чисел.

рекурентне число

гістограма

число Якобсталя

загальний час зупинки

гіпотеза Коллатца

функція розподілу ймовірностей

[1] D. Barina, “Convergence verification of the Collatz problem,” J. Supercomput, vol. 77, pp. 2681–2688, 2021. https://doi.org/10.1007/s11227-020-03368-x

[2] B. Gurbaxani, “An Engineering and Statistical Look at the Collatz (3n + 1) Conjecture,” arXiv preprint, arXiv:2103.15554.

[3] D. Barina, “7x ± 1: Close Relative of the Collatz Problem,” CMST, vol. 28, no. 4, pp. 143–147, 2022.

[4] D. Bařina, “David Bařina’s 7x+1 conjecture,” Available online: www.numbertheory.org/php/barina.html.

[5] D. Bařina, “David Bařina’s mod 8 conjecture,” Available online: www.numbertheory.org/php/ barina8.html.

[6] P. Kosobutskyy, “Comment from article ‘M. Ahmed, Two different scenarios when the Collatz Conjecture fails,’” General Letters in Mathematics, 2023. Available online: https://www.refaad.com/Files/GLM/GLM4.pdf.

[7] P. Kosobutskyy, “The Collatz problem (a·q ± 1, a=1,3,5,…) from the point of view of transformations of Jacobsthal numbers,” arXiv preprint, arXiv:2306.14635.

[8] N. Sloane, “The On-line encyclopedia of integer sequences,” The OEIS Foundation. Available online: https://oeisf.org/.

[9] T. Tao, “The Collatz conjecture, Littlewood-Offord theory, and powers of 2 and 3,” Available online: https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/.

[10] X. Henderson, “Rhapsody in Numbers,” Available online: https://yozh.org/.

[11] N. Johnston, “Collatz conjecture as a Fractal,” 2009. Available online: https://www.njohnston.ca/2009/06/the-collatz-conjecture-as-a-fractal/.

[12] J. Pe, “The 3x + 1 Fractal,” Computers & Graphics, vol. 28, no. 3, pp. 431–435, 2004. https://doi.org/10.1016/j.cag.2004.03.010.

[13] R. Terras, “A stopping time problem on the positive integers,” Acta Arithmetica, vol. 30, pp. 241–252, 1976.

[14] X. Wang and X. Yu, “Dynamics of the generalized 3x + 1 function determined by its fractal images,” Progress in Natural Science, vol. 18, pp. 217–223, 2008. Available online: www.sciencedirect.com.

[15] Y. Hashimoto, “A fractal set associated with the Collatz problem,” Available online: https://www.researchgate.net/publication/255633359_A_fractal_set_associated_with_the_ Collatz_problem

[16] W. Jia and L. Xin, “Fractal Property for A Novel Function generated by Generalized Approximate 3x+1 Functions,” in Proc. Int. Conf. Mechatronics, Control and Electronic Engineering (MCE 2014), Atlantis Press, 2014.

[17] P. Kosobutskyy, A. Yedyharova, and T. Slobodzyan, “From Newton’s binomial and Pascal’s triangle to Collatz’s problem,” CDS, vol. 5, no. 1, pp. 121–127, 2023. https://doi.org/10.23939/cds2023.01.121.

[18] P. Kosobutskyy and D. Rebot, “Collatz conjecture 3n ± 1 as a Newton binomial problem,” CDS, vol. 5, no. 1, pp. 137–145, 2023.

[19] L. Shuai and W. Zhengxuan, “Fixed Point and Fractal Images for a Generalized Approximate 3x+1 Function,” J. CAD & CG, vol. 21, no. 12, pp. 1740–1744, 2009.

[20] S. Letherman, D. Schleicher, and R. Wood, “The 3n+1-Problem and Holomorphic Dynamics,” Experimental Mathematics, vol. 8, no. 3, pp. 241–251, 1999.

[21] K. Barghout, “On the Probabilistic Proof of the Convergence of the Collatz Conjecture,” J. Probability and Statistics, vol. 2019, Article ID 6814378, 2019. https://doi.org/10.1155/2019/6814378.

[22] J. Kleinnijenhuis, A. Kleinnijenhuis, and M. Aydogan, “The Collatz tree as a Hilbert hotel: a proof of the 3x+1 conjecture,” Available online: https://research.vu.nl/ws/portalfiles/portal/123386476/2008.13643v3.pdf.