Вперше запропонована нова модель дерева розгалужень в напрямку зростання степеня 2n(злиття в реверсному напрямку), який співпадає з напрямком збільшення часу повної зупинки. Показано, що кожному часу відповідає послідовність індивідуальних чисел, обсяг якої зростає при n(tst)→∞. Таким чином доказано, що кожному часу відповідає скінчена кількість послідовностей Коллатца однакової довжини. Встановлена причина формування гістограми або спектру tst(q) із двох максимумів. Показано, що подвійна структура формується закономірностями рекурентних чисел Якобсталя вузлів послідовностей. Встановлено, що графік tst(q) із числами активних вузлів в напівлогарифмічних координатах tst, logm(p) має вигляд прямої, тоді як графік для чисел неактивних вузлів, має вигляд розсіяного спектра. На основі встановлених статистичних закономірностей tst(q), запропонована нова рекурентна модель тривіальних циклів.
[1] R.Terras. A stopping time problem on the positive integers. Acta Arith. 30: 241–252,197
[2] C. Lagarias, The (3x+1)–problem and its generalizations, American Mathematical Monthly 92 (1985), 3–23.
[3] K. A. Borovkov and D. Pfeifer, Estimates for the Syracuse Problem via a probabilistic model, Theory of Probability and its Applications 45, N2 (2000), 300–310.
[4] G. J. Wirsching, The Dynamical System generated by the (3x+ 1)–function, Lecture Notes in Mathematics, N1681, Springer–Verlag, Berlin, 1998, 158p.
[5] B.Gurbaxani. An Engineering and Statistical Look at the Collatz (3n + 1) Conjecture. arXiv preprint arXiv:2103.15554
[6] M. Rasool, S.Belhaouari. From Collatz Conjecture to chaos and hash function. Chaos, Solitons and Fractals 176 (2023) 114103, 2023. http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
[7] A. Grubiy. Automation implementations of the process of generating Collatz sequence. Vol.48, pp.108-116,2012
[8] Y. Sinai. Statistical (3x+ 1) problem, Dedicated to the memory of Jurgen K. Moser. Communications InPure & Applied Math., 56(7), 1016–1028,2003ю
[9] T. Tao. Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values. Forum of Mathematics, Pi,Volume (10),2022.
[10] http://en.wikipedia.org/wiki/File:CollatzStatistic100million.png
[11] C. AllenMc. Histogram of total stopping times for the numbers 1 to 100 million (2013). Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture#/media/File: CollatzStatistic100million.png
[12] Thomas e Silva. Computational Verification of the 3x+1 conjecture, Universidade de Aveiro (2015). Link: http://sweet.ua.pt/tos/3x+1.html
[13] U. Rinat. Collatz Conjecture: calculation in reverse with JavaScript. https://blog.rinatussenov.com/collatz-conjecture-calculation-in-reverse-with-javascript-a768fab10425
[14] J. Miller. Reversing the Collatz Conjecture Linearly. https://medium.com/@jordan.kay/reversing-the-collatz-conjecture-linearly...
[15] N. Fabiano, Z.Mitrovic, N.Mirkov, S.Radenović. A discussion on two old standing number theory problems: Collatz hypothesis, together with its relation to Planck’s black body radiation, and Kurepa’s conjecture on left factorial function Chapter 1. October 2022h. ttps://www.researchgate.net/publication/364284245
[16] P. Kosobutskyy. The Collatz problem as a reverse problem on a graph tree formed from Q*2^n (Q=1,3,5,7,…) Jacobsthal-type numbers .arXiv:2306.14635v1
[17] P. Kosobutskyy. Comment from article ”Two different scenarios when the Collatz Conjecture fails”. General Letters in Mathematics. 2022. Vol. 12, iss. 4. P. 179–182.
[18] P. Kosobutskyy, D. Rebot. Collatz conjecture 3n ± 1 as a Newton Binomial Problem. Computer Design Systems. Theory and Practice, Vol. 5, No. 1, 2023.рр.137-145
[19] P. Kosobutskyy, Yedyharova A., Slobodzyan T. From Newton's binomial and Pascal’s triangle to Collatz's problem. Computer Design Systems. Theory and Practice , Vol. 5, No 1, 2023.рр.121-127
[20] P. Kosobutskyy, Karkulovskyy V. Recurrence and structuring of sequences of transformations 3n +1 as arguments for confirmation of the Collatz hypothesis. Computer Design Systems. Theory and Practice. Vol. 5, No. 1, 2023.рр.28-33
[21] J. Choi. Ternary Modified Collatz Sequences And Jacobsthal Numbers. Journal of Integer Sequences, Vol. 19 (2016), Article 16.7.5
[22] Sloan's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS, http://oeis.org/).